Mô hình sản xuất biên ngẫu nhiên được giới thiệu bởi Aigner, Lovell and Schmindt (1977) và Meeusen và Van Den Broeck (1977). Từ đó, nó trở thành 1 lĩnh vực nhỏ phổ biến trong kinh tế lượng; xem Kumbhakar và Lovell (2000) như là một sự giới thiệu. xtfrontier phù hợp với 2 mô hình biên ngẫu nhiên với các đặc trưng khác biệt không hiệu quả và có thể phù hợp với cả mô hình hàm sản xuất và mô hình chi phí.
Xem xét bản chất của vấn đề biên ngẫu nhiên. Giả sử rằng 1 nhà sản xuất có 1 hàm sản xuất f (zit , β). Trong một thế giới không có sai lệch hay không hiệu quả, tại thời điểm t, công ty thứ i sẽ sản xuất
qit = f (zit , β)
Một yếu tố cơ bản của phân tích biên ngẫu nhiên là mỗi hàng có khả năng sản xuất ít hơn nó có thể bởi vì mức độ không hiệu quả. Cụ thể
qit = f (zit , β)ξit
Trong đó ξit là mức độ hiệu quả của hãng i tại thời điểm t, ξit phải nằm trong nửa khoảng (0,1]. Nếu ξit=1, hãng đạt được mức sản lượng tối ưu với công nghệ thể hiện ở hàm sản xuất f (zit , β). Khi ξit<1, hãng không sử dụng hết đầu vào zit cung cấp cho công nghệ thể hiện trong hàm f (zit , β). Bởi vì đầu ra giả sử được giới hạn luôn dương (i.e., qit > 0), mức độ hiệu quả kỹ thuật giả sử được giới hạn dương (i.e., ξit > 0).
Đầu ra được giả định là một shock ngâu nhiên, ngụ ý rằng
qit = f (zit , β)ξit exp(vit )
Lấy logarit tự nhiên cả 2 vế
ln(qit ) = lnnf (zit , β))+ ln(ξit ) + vit
Giả sử rằng có k đầu vào và hàm sản xuất là tuyến tính với logs, định nghĩa uit = − ln(ξit ) yields
ln(qit ) = β0 + βj ln(zjit ) + vit − uit (1)
j=1
uit mang dấu trừ vì từ uit = − ln(ξit ), giới hạn uit ≥ 0 ngụ ý rằng 0 < ξit ≤ 1 như đã chỉ rõ bên trên.
Kumbhakar và Lovell (2000) cung cập chi tiết một hàm theo hàm trên, và họ chỉ ra rằng thực hiện 1 phân tích dẫn suất trong hàm đôi chi phí cho phép chúng ta chỉ rõ vấn đề
ln(cit ) = β0 + βq ln(qit ) + βj ln(pjit ) + vit − suit (2)
j=1
Trong đó qit là đầu ra, zjit là lượng đầu vào, cit là chi phí, pjit là giá đầu vào và
s= 1 cho sản xuất
s=-1 cho hàm chi phí
Bằng trực quan, ảnh hưởng không hiệu quả yêu cầu mức sản lượng thấp hay chi phí tăng, phụ thuộc vào đặc điểm kỹ thuật
Technical note:
Mô hình xtfrontier thực sự phù hợp với dạng
Technical note:
Mô hình xtfrontier thực sự phù hợp với dạng
k
yit = β0 + βj xjit + vit − suit
j=1
Vì vậy
The model that xtfrontier actually fits has the form
k
yit = β0 + βj xjit + vit − suit
j=1
xtfrontier không thực hiện chuyển đổi bất cứ gì trên dữ liệu
Phương trình (2) là một biến thể của một panel-data model trong đó vit là một sai số riêng và uit là một ảnh hưởng thay đối theo thời gian. Nhiều tài liệu về mô hình này tập trung nguồn gốc người đánh giá ước lượng cho những đặc trưng khác biệt của uit. Kumbhakar và Lovell(2000) cung cấp một điều tra của tài liệu này.
Phương trình (2) là một biến thể của một panel-data model trong đó vit là một sai số riêng và uit là một ảnh hưởng thay đối theo thời gian. Nhiều tài liệu về mô hình này tập trung nguồn gốc người đánh giá ước lượng cho những đặc trưng khác biệt của uit. Kumbhakar và Lovell(2000) cung cấp một điều tra của tài liệu này.
Stochastic production frontier models were introduced
by Aigner, Lovell, and Schmidt (1977)
and Meeusen and van den Broeck (1977). Since
then, stochastic frontier models have become
a popular subfield in econometrics; see Kumbhakar and Lovell (2000)
for an introduction. xtfrontier fits two stochastic frontier models with distinct specifications of the inefficiency term and can fit both production- and cost-frontier
models.
Let’s review the nature
of the stochastic frontier problem. Suppose that a producer
has a production function f (zit , β). In a world without
error or inefficiency, in time t, the ith firm would produce
qit = f (zit , β)
A fundamental element of stochastic frontier analysis is that each firm potentially produces less
than it might because of a degree
of inefficiency. Specifically,
qit = f (zit , β)ξit
where ξit is the level of efficiency for firm i at time t; ξi must be in the interval (0, 1 ]. If ξit = 1, the firm is achieving the optimal output with the technology embodied in the production function
f (zit , β). When ξit < 1, the firm is not making
the most of the
inputs zit given the technology embodied in
the production function f (zit , β). Because the output is
assumed to be strictly
positive (i.e., qit > 0), the degree of
technical efficiency is assumed to be strictly positive (i.e., ξit > 0).
Output is also assumed to
be subject to random shocks,
implying that
qit = f (zit , β)ξit exp(vit )
Taking the natural log of both sides yields
ln(qit ) = lnnf (zit , β))+ ln(ξit ) + vit
Assuming that there are k inputs and that the production function is linear in logs, defining
uit = − ln(ξit ) yields
k
ln(qit ) = β0 + βj ln(zjit ) + vit − uit (1)
j=1
Because uit is subtracted from ln(qit ), restricting uit ≥ 0 implies that 0 < ξit ≤ 1, as specified above.
Kumbhakar and Lovell (2000) provide a detailed version of this derivation, and they show that performing an analogous derivation in the dual cost function problem allows us to specify the problem as
k
ln(cit ) = β0 + βq ln(qit ) + βj ln(pjit ) + vit − suit (2)
j=1
where qit is output, the zjit are input quantities, cit is cost, the pjit are input prices, and
1, 1, for production functions
s = −1, for cost functions
Intuitively, the inefficiency effect is required to lower output or raise expenditure, depending on the specification.
so in the context of the discussion above, yit = ln(qit ) and xjit = ln(zjit ) for a production function; for a cost function, yit = ln(cit ), the xjit are the ln(pjit ), and ln(qit ). You must perform the natural logarithm transformation of the data before estimation to interpret the estimation results correctly for a stochastic frontier production or cost model. xtfrontier does not perform any transformations on the data.
Equation (2) is a variant of a panel-data model in which vit is the idiosyncratic error and uit is a time-varying panel-level effect. Much of the literature on this model has focused on deriving estimators for different specifications of the uit term. Kumbhakar and Lovell (2000) provide a survey of this literature.
