Stochastic production frontier model

Mô hình sản xuất biên ngẫu nhiên được giới thiệu bởi Aigner, Lovell and Schmindt (1977) và Meeusen và Van Den Broeck  (1977). Từ đó, nó trở thành 1 lĩnh vực nhỏ phổ biến trong kinh tế lượng; xem Kumbhakar và Lovell (2000) như là một sự giới thiệu. xtfrontier phù hợp với 2 mô hình biên ngẫu nhiên với các đặc trưng  khác biệt không hiệu quả và có thể phù hợp với cả mô hình hàm sản xuất và mô hình chi phí.

Xem xét bản chất của vấn đề biên ngẫu nhiên. Giả sử rằng 1 nhà sản xuất có 1 hàm sản xuất f (zit , β). Trong một thế giới không có sai lệch hay không hiệu quả, tại thời điểm t, công ty thứ i sẽ sản xuất

                                                                                                                qit  = f (zit , β)

Một yếu tố cơ bản của phân tích biên ngẫu nhiên là mỗi hàng có khả năng sản xuất ít hơn nó có thể bởi vì mức độ không hiệu quả. Cụ thể

                                                         qit  = f (zit , β)ξit

Trong đó ξit là mức độ hiệu quả của hãng i tại thời điểm t, ξit phải nằm trong nửa khoảng (0,1]. Nếu ξit=1, hãng đạt được mức sản lượng tối ưu với công nghệ thể hiện ở hàm sản xuất f (zit , β). Khi ξit<1, hãng không sử dụng hết đầu vào zit cung cấp cho công nghệ thể hiện trong hàm f (zit , β). Bởi vì đầu ra giả sử được giới hạn luôn dương (i.e., qit  > 0), mức độ hiệu quả kỹ thuật giả sử được giới hạn dương (i.e., ξit  > 0).

Đầu ra được giả định là một shock ngâu nhiên, ngụ ý rằng

                                                      qit  = f (zit , β)ξit exp(vit )

Lấy logarit tự nhiên cả 2 vế

                                           ln(qit ) = lnnf (zit , β))+ ln(ξit ) + vit

Giả sử rằng có k đầu vào và hàm sản xuất là tuyến tính với logs, định nghĩa uit  = − ln(ξit ) yields

ln(qit ) = β0 +     βj ln(zjit ) + vit − uit                                                   (1)

j=1

uit  mang dấu trừ vì từ uit  = − ln(ξit ), giới hạn  uit  ≥ 0 ngụ ý rằng 0 < ξit  ≤ 1 như đã chỉ rõ bên trên.

Kumbhakar và Lovell (2000) cung cập chi tiết một hàm theo hàm trên, và họ chỉ ra rằng thực hiện 1 phân tích dẫn suất trong  hàm đôi chi phí cho phép chúng ta chỉ rõ vấn đề 

ln(cit ) = β0 + βq ln(qit ) +     βj ln(pjit ) + vit − suit                                         (2)

j=1

Trong đó qit là đầu ra, zjit là lượng đầu vào, cit là chi phí, pjit  là giá đầu vào và 

s= 1 cho sản xuất

s=-1 cho hàm chi phí

Bằng trực quan, ảnh hưởng không hiệu quả yêu cầu mức sản lượng thấp hay chi phí tăng, phụ thuộc vào đặc điểm kỹ thuật


Technical note:
Mô hình xtfrontier thực sự phù hợp với dạng

k

yit  = β0 +     βj xjit + vit − suit

j=1

Vì vậy

The model that xtfrontier actually  fits has the form

k

yit  = β0 +     βj xjit + vit − suit

j=1

 Như thảo luận bên trên, yit  = ln(qit ) and xjit  = ln(zjit )  cho một hàm sản xuất; còn cho hàm chi phí,  yit  = ln(cit ), the xjit   là ln(pjit ), and ln(qit ). Bạn phải chuyển logarit tự nhiên của dữ liệu trước khi ước lượng để giải thích kết quả ước lượng một cách chính xác cho 1 mô hình sản xuất biên ngẫu nhiên hày mô hình chi phí biên ngẫu nhiên. 

xtfrontier không thực hiện chuyển đổi bất cứ gì trên dữ liệu


Phương trình (2) là một biến thể của một panel-data model trong đó vit là một sai số riêng và uit là một ảnh hưởng thay đối theo thời gian. Nhiều tài liệu về mô hình này tập trung nguồn gốc người đánh giá ước lượng cho những đặc trưng khác biệt của uit.  Kumbhakar và Lovell(2000) cung cấp một điều tra của tài liệu này.

Stochastic production frontier models were introduced by Aigner, Lovell, and Schmidt (1977) and Meeusen and van den Broeck  (1977).  Since then, stochastic frontier models  have become a popular subfield in econometrics;  see Kumbhakar  and Lovell (2000) for an introduction.  xtfrontier fits two stochastic frontier models with distinct specifications of the inefficiency term and can fit both production- and cost-frontier  models.

Let’s review the nature of the stochastic frontier problem.  Suppose that a producer has a production function f (zit , β). In a world without error or inefficiency, in time t, the ith firm would produce

qit  = f (zit , β)

A fundamental element of stochastic frontier analysis is that each firm potentially produces less than it might because of a degree  of inefficiency. Specifically,

qit  = f (zit , β)ξit

where ξit  is the level of efficiency for firm i at time t; ξi  must be in the interval (0, 1 ]. If ξit  = 1, the firm is achieving the optimal output with the technology embodied in the production function f (zit , β). When ξit  < 1, the firm is not making the most of the inputs zit  given the technology embodied in the production function f (zit , β). Because the output is assumed to be strictly positive (i.e., qit  > 0), the degree of technical efficiency is assumed to be strictly positive (i.e., ξit  > 0).

Output is also assumed to be subject to random shocks, implying that

qit  = f (zit , β)ξit exp(vit )

Taking the natural log of both sides yields

ln(qit ) = lnnf (zit , β))+ ln(ξit ) + vit

Assuming that there are k inputs and that the production function is linear in logs, defining

uit  = − ln(ξit ) yields

k

ln(qit ) = β0 +     βj ln(zjit ) + vit − uit                                                   (1)

j=1

Because uit  is subtracted from ln(qit ), restricting uit  ≥ 0 implies that 0 < ξit  ≤ 1, as specified above.

Kumbhakar and Lovell (2000) provide a detailed  version  of this derivation, and they show that performing an analogous derivation in the dual cost function problem allows us to specify the problem as

k

ln(cit ) = β0 + βq ln(qit ) +     βj ln(pjit ) + vit − suit                                         (2)

j=1

where qit  is output, the zjit  are input quantities, cit  is cost, the pjit  are input prices, and

1,  1,   for production functions

s =    −1,  for cost functions

Intuitively, the inefficiency effect is required to lower output or raise expenditure,  depending on the specification.

so in the context of the discussion above, yit  = ln(qit ) and xjit  = ln(zjit ) for a production  function; for a cost function,  yit  = ln(cit ), the xjit  are the ln(pjit ), and ln(qit ). You must perform the natural logarithm transformation of the data before estimation to interpret the estimation results correctly for a stochastic  frontier production or cost model. xtfrontier does not perform any transformations on the data.

Equation (2) is a  variant of a panel-data  model in which vit  is the idiosyncratic error and uit is a time-varying panel-level effect. Much of the literature on this model has focused  on deriving estimators for different specifications of the uit  term. Kumbhakar and Lovell (2000) provide a survey of this literature.